khimie.ru

Сопоставление четных и нечетных величин может помочь при решении не только химических задач. Рассмотрим одну из них, ее иногда вспоминают при заполнении досуга. Необходимо нарисовать показанный прямоугольник с двумя диагоналями, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды.

Первое, с чего начинает каждый новичок — пытается нарисовать эту фигуру, соблюдая поставленные условия. После нескольких попыток он убеждается, что задача неразрешима, и лишь затем возникает желание ее проанализировать, хотя заранее можно было предположить, что именно с этого следовало начать.

Точки, где сходятся прямые, назовем узлами. В показанной фигуре имеется два типа узлов. Один узел находится в центре прямоугольника, в нем сходятся четыре прямых, назовем его четным узлом. В вершинах прямоугольника находятся четыре узла, в которых сходятся по три прямых, это нечетные узлы. Свойства четных и нечетных узлов различны. Четные узлы для решения задач такого типа очень «удобны», в такие узлы можно свободно входить и выходить в процессе рисования, и никаких сложностей с ними не возникает. Отличительное свойство таких узлов состоит в следующем: сколько раз вы из этого узла вышли, столько же раз должны войти (иначе вы его превратите в нечетный). Следовательно, такие узлы не составят никаких проблем, если они будут встречаться на середине пути.

Совсем иные свойства у нечетных узлов, количество входов и выходов не совпадает. Следовательно, на промежуточном этапе такие узлы должны быть исключены. Далее, если вы начали рисование с нечетного узла, то возвращаться в него можно, но затем обязательно следует выйти, завершить на нем рисунок нельзя, иначе узел превратиться в четный. Точно такие же рассуждения приводят нас к выводу, что нечетный узел может быть в конце пути (если начинать рисунок не с него). Окончательный итог — рисование надо начинать с одного нечетного узла и заканчивать на другом, в середине пути не должно быть нечетных узлов.

Посмотрим внимательно на исходный рисунок, в нем четыре нечетных узла, а допустимо, как мы установили, только два, следовательно, задача неразрешима.

Показанную неразрешимую задачу легко превратить в решаемую, если добавить еще две линии, превратив предыдущий рисунок в конверт (вариант А). В итоге нечетных узлов стало два. Следует только помнить, что необходимо начинать с одного из нечетных узлов и заканчивать на втором (обозначены звездочками).

Задача еще более упрощается, если все узлы четные (вариант Б). Рисовать можно, начиная с любого узла, и в итоге, как показали предыдущие рассуждения, вы неизбежно вернетесь в исходную точку.

Рассуждения справедливы по отношению к узлам, в которых сходится любое количество линий, главное только четность или нечетность узла.